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Topic outline

  • Matrice et éléments propres

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    • - Objectifs et plan de travail

      • Objectifs

        Après avoir étudié ce chapitre, l'élève devra :
        • connaître les définitions et propriétés fondamentales de l'algèbre matricielle (bases, changement de base)
        • savoir calculer analytiquement les éléments propres d'une matrice (pour des matrices simples)
        • comprendre ce que représentent les éléments propres d'une matrice

      • Plan de travail

        • Chapitre 2 de Outils mathématiques (cours et exercices).
        • Étudier la section 2.1. Rappels d'algèbre. En cas de difficulté sur les aspects calculatoires, reprendre les exercices correspondants dans les révisions.exercices ; en particulier, s'assurer que le passage matrices/application linéaire ne pose pas de souci (exercices 0.15 et 0.16).
        • Faire l'exercice 2.1, qui permet de réviser ces notions et d'avoir une première vision concrète des éléments propres d'une matrice. Cet exercice peut paraître déroutant car on a trop souvent l'habitude d'avoir une matrice et d'en déduire ses propriétés, tandis que là il s'agit au contraire de définir les propriétés voulues et d'en déduire la matrice.
        • Pour celles et ceux qui sont à l'aise, faire l'exercice 2.2 : un exemple de cryptographie avec uniquement de l'algèbre élémentaire (bases, inversions de matrices), mais les calculs se font dans Z/26Z (entiers modulo 26), ce qui oblige à bien maîtriser le pivot de Gauss.
        • Étudier la section 2.2. Éléments propres d'une matrice. Le cours est minimaliste ; au besoin, reprendre l'exercice 2.1 pour une illustration concrète des éléments propres.
        • Faire l'exercice 2.3. Cet exercice permet à la fois de se familiariser avec les manipulations d'éléments propres et de constater leur intérêt : une matrice (diagonalisable) est entièrement définie par ses éléments propres, et ces derniers permettent de caractériser très facilement les effets de celle-là. La dernière question permet de «voir» des éléments propres.
        • Une fois l'exercice 2.3 fait (c'est à pré-requis), mettre en application ses résultats en faisant l'exercice 2.4 et, pour ceux et celles qui sont à l'aise, l'exercice 2.5. Ce dernier exercice, en plus de se préoccuper de la survie des adorables chouettes tachetées, donne une méthode très simple de calcul de la plus grande valeur propre d'une matrice.
        • Faire les entraînements et les évaluations.
        • Pensez à contribuer pour ce chapitre !